Mon sens physique me dit que la vitesse de rejet est la vitesse d'échappement.
Cette minimisation pourrait mieux fonctionner avec un rapport entre le changement d'énergie total du système d'astéroïdes plus le matériau éjecté et l'énergie du matériau éjecté. L'équation de la fusée est d'une certaine utilité. L'équation de la fusée est une conservation du résultat de l'élan avec
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
où V est la vitesse de masse de la réaction,? v et? m est le changement de vitesse et de perte de masse de la "fusée", ou dans ce cas l'astéroïde, et m et v sont la masse et la vitesse initiales de l'objet. Nous mettons v = 0 et obtenons
? v = V (? m / m)
et la vitesse intégrée vers le haut est v = V ln (m_i / m_f), pour m_i la masse initiale et m_f la masse finale. Si le changement de masse est faible, nous avons
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
et l'élan de l'astéroïde à la fin est p ~ = V (m_i - m_f). Soit maintenant V = u - v_e, pour v_e la vitesse d'échappement et u la vitesse de l'objet rejeté. Cela signifie que V est la vitesse de l'objet rejeté «à l'infini».
Supposons maintenant que nous voulons minimiser l'énergie cinétique de l'astéroïde K = (1/2) p ^ 2 / m_f pour un rejet donné d'énergie cinétique E = (1/2)? Mu ^ 2. Nous construisons un rapport sans dimension,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
BTW, il est important de travailler avec un rapport sans dimension. Donc, nous minimisons cela pour un? M donné et calculons le u. Nous minimisons donc
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
et cela est nul à v_e = u. Cela semble un peu étrange compte tenu de la formule d'équation de la fusée, mais je vais en discuter ci-dessous.
Nous prenons ensuite la dérivée seconde pour déterminer s'il s'agit d'un maximum ou d'un min et nous obtenons
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
qui à u = v_e est -2 <0 et c'est donc un min, ce que nous voulons. Il est également clair que u = v_e est l'énergie cinétique minimale que nous pouvons transmettre à la masse.
Il semble étrange que nous ayons v ~ = V (m_i / m_f - 1), qui pour V = u - v_e est nul en u = v_e. Cependant, pour u = v_e, l'astéroïde se déplace jusqu'à ce que l'objet abandonné atteigne l'infini. Le but de cette opération est de créer un déplacement de l'astéroïde, et lorsque l'objet abandonné atteint «l'infini», l'astéroïde atteindra une certaine distance de déplacement.
LC
