"Vers l'infini et au-delà!"
Avez-vous même pensé profondément au célèbre slogan de Buzz Lightyear des films "Toy Story"? Probablement pas. Mais peut-être avez-vous parfois regardé le ciel nocturne et vous êtes interrogé sur la nature de l'infini lui-même.
L'infini est un concept étrange, un concept sur lequel le cerveau humain a du mal à envelopper sa compréhension limitée. Nous disons que l'univers peut être infini, mais peut-il vraiment continuer indéfiniment? Ou les chiffres de pi après la décimale - fonctionnent-ils réellement sans fin, nous donnant toujours beaucoup plus de précision sur le rapport entre la circonférence et le rayon d'un cercle? Et, Buzz pourrait-il avoir raison? Y a-t-il quelque chose au-delà de l'infini?
Afin de s'attaquer à ces spéculations hallucinantes, Live Science a fait appel au mathématicien Henry Towsner de l'Université de Pennsylvanie à Philadelphie, qui a eu la gentillesse d'essayer de répondre à la question «Pouvez-vous compter au-delà de l'infini? (Soyez prévenu: cela va devenir délicat.)
L'infini, a déclaré Towsner, se trouve à un endroit étrange: la plupart des gens ont l'impression d'avoir une certaine intuition sur le concept, mais plus ils y pensent, plus c'est étrange.
Les mathématiciens, en revanche, ne considèrent pas souvent l'infini comme un concept à lui seul, a-t-il ajouté. Au contraire, ils emploient différentes façons de penser à ce sujet afin de saisir ses nombreux aspects.
Par exemple, il existe différentes tailles d'infini. Cela a été prouvé par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin des années 1800, selon une histoire de l'Université de St Andrews en Écosse.
Cantor savait que les nombres naturels - c'est-à-dire des nombres entiers positifs comme 1, 4, 27, 56 et 15 687 - durent toujours. Ils sont infinis, et ils sont aussi ce que nous utilisons pour compter les choses, alors il les a définis comme étant "infiniment infinis", selon un site utile sur l'histoire, les mathématiques et d'autres sujets du caricaturiste éducatif Charles Fisher Cooper.
Les groupes de nombres infiniment dénombrables ont des propriétés intéressantes. Par exemple, les nombres pairs (2, 4, 6, etc.) sont également infiniment comptables. Et bien qu'il y en ait techniquement deux fois moins que ce qui est englobé par l'ensemble complet des nombres naturels, ils sont toujours le même genre d'infini.
En d'autres termes, vous pouvez placer tous les nombres pairs et tous les nombres naturels côte à côte dans deux colonnes et les deux colonnes iront à l'infini, mais ce sont la même "longueur" d'infini. Cela signifie que la moitié de l'infini dénombrable est toujours l'infini.
Mais la grande perspicacité de Cantor était de réaliser qu'il y avait d'autres ensembles de nombres qui étaient infiniment infinis. Les nombres réels - qui incluent les nombres naturels ainsi que les fractions et les nombres irrationnels comme pi - sont plus infinis que les nombres naturels. (Si vous souhaitez savoir comment Cantor l'a fait et pouvez gérer certaines notations mathématiques, vous pouvez consulter cette feuille de calcul de l'Université du Maine.)
Si vous aligniez tous les nombres naturels et tous les nombres réels côte à côte dans deux colonnes, les nombres réels s'étireraient au-delà de l'infinité des nombres naturels. Cantor est devenu plus tard fou, probablement pour des raisons sans rapport avec son travail sur l'infini, selon Cooper.
Qu'est-ce qui compte?
Revenons donc à la question du comptage de l'infini passé. "Ce que les mathématiques vous font demander, c'est:" Qu'est-ce que cela signifie vraiment? ", A déclaré Towsner. "Que voulez-vous dire par compter l'infini passé?"
Afin de résoudre le problème, Towsner a parlé des nombres ordinaux. Contrairement aux nombres cardinaux (1, 2, 3 et ainsi de suite), qui vous indiquent le nombre de choses dans un ensemble, les ordinaux sont définis par leurs positions (première, deuxième, troisième, etc.), et ils ont également été introduits en mathématiques par Cantor, selon le site de mathématiques Wolfram MathWorld.
Dans les nombres ordinaux est un concept appelé oméga, désigné par la lettre grecque ω, a déclaré Towsner. Le symbole ω est défini comme la chose qui vient après tous les autres nombres naturels - ou, comme Cantor l'a appelé, le premier ordinal transfini.
Mais l'une des choses à propos des chiffres est que vous pouvez toujours en ajouter un autre à la fin, a déclaré Towsner. Il existe donc une chose telle que ω + 1, et ω + 2 et même ω + ω. (Au cas où vous vous poseriez la question, vous avez finalement atteint un nombre appelé ω1, qui est connu comme le premier ordinal indénombrable.)
Et comme compter est un peu comme ajouter des nombres supplémentaires, ces concepts vous permettent en quelque sorte de compter l'infini passé, a déclaré Towsner.
L'étrangeté de tout cela fait partie des raisons pour lesquelles les mathématiciens insistent pour définir rigoureusement leurs termes, a-t-il ajouté. À moins que tout soit en ordre, il est difficile de séparer notre intuition humaine normale de ce qui peut être prouvé mathématiquement.
"Le calcul vous dit:" Introspectez profondément, qu'est-ce qui compte? ", A déclaré Towsner.
Pour nous, simples mortels, ces idées pourraient être difficiles à calculer complètement. Comment les mathématiciens travaillant traitent-ils exactement toutes ces drôles d'affaires dans leurs recherches quotidiennes?
"Cela dépend en grande partie de l'entraînement", a déclaré Towsner. "Vous développez de nouvelles intuitions avec exposition, et lorsque l'intuition échoue, vous pouvez dire:" Nous parlons de cette preuve rigoureuse étape par étape exacte. " Donc, si cette preuve est surprenante, nous pouvons toujours vérifier qu'elle est correcte, puis apprendre à développer une nouvelle intuition autour de cela. "
